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By Matthias Wendt

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3 (Pohst-Zassenhaus). Sei K ein Zahlk¨ orper, O eine Ordnung in K und p eine Primzahl. Dann gilt genau eine der folgenden Aussagen: (i) [Ip (O)/Ip (O)] = O ist p-maximal. (ii) [Ip (O)/Ip (O)] O und p | [[Ip (O)/Ip (O)] : O] | pn . Beweis. Wir bezeichnen Ip = Ip (O) und O = [Ip (O)/Ip (O)]. Da Ip ein Ideal ist, gilt O ⊆ O . Da p ∈ Ip gilt f¨ ur x ∈ O auch xp ∈ Ip ⊆ O, also ist O ⊆ O ⊆ p1 O. Damit ist O eine Ordnung und [O : O] | pn . 1. BERECHNUNG VON GANZHEITSBASEN 39 ¨ Sei nun O = O. Wir betrachten die p-maximale Uberordnung Op .

Wir betrachten die verschiedenen Schritte am Beispiel des Zahlk¨ orpers Q( 3 175). Die√Matrix der Spurpaarung und Diskriminante der Potenzbasis 1, θ, θ2 mit θ = 3 175 sind   3 0 0 0 525  = −33 54 72 . det  0 0 525 0 Wir betrachten zuerst den Dedekind-Test f¨ ur f (X) = X 3 −175 an verschiedenen Primzahlen. (i) p = 2: In diesem Fall ist f (X) ≡ (X +1)(X 2 +X +1) mod 2, also g(X) = (X +1)(X 2 +X +1). Wir k¨ onnen als normierten Lift von f (X)/g(X) schon h(X) = 1 w¨ ahlen. Im Kriterium ist ∆(X) = (g(X) − f (X))/2 = X 2 + X + 88.

Wenn α1 , . . , αn eine Ganzheitsbasis ist und λij die Koeffizienten der HNF-Basis des Ideals I ⊆ OK , dann ist die Idealnorm gleich dem Produkt λii . 4. Sei α1 , . . , αn eine Ganzheitsbasis von K, und sei das Ideal I durch die Koeffizientenmatrix M gegeben, deren Spalten die Koeffizienten einer Z-Basis x1 , . . , xn von I enthalten. Zuerst betrachtet man die Spurpaarungsmatrix T = (Tr(αi αj ))i,j und die Diskriminante dK = det T . Wir bezeichnen mit δj die Elemente von OK , deren Koeffizienten in der Basis αi die Spalten von dK T −1 bilden.

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Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by Matthias Wendt


by Donald
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